1 背景

近年來，以“水”為主要元素的演出越來越多，不僅有自然水域中的室外實景演出，甚至一些室內表演場所也配置了大型水池以供表演使用。在這些水秀舞臺中，水中升降臺、水中平移臺、水中旋轉臺、水中翻板等是常見的配置形式。在設計上述涉水舞臺機械時，水的作用力往往不可忽視，這就要用到流體力學的知識。由于舞臺機械設計人員大多以機電類專業為主，因此，在設計計算中對涉及流體作用的部分有些困難。而水作為最典型的流體又與人們的日常生活息息相關，每個人都或多或少了解一些關于流體的知識；但不可盲目地把平時見到的某些流體現象與設計時遇到的模型進行簡單的類比計算，否則會誤入歧途。加之流體力學自身的復雜性及分類的多樣性，要找到類似的模型及公式進行近似的分析與計算，也絕非易事。為此，筆者查閱了一些關于流體力學及相關分支的書籍和論文，并請專業人士做指導，對涉及水中舞臺機械的流體阻力問題進行探索性研究與應用，希望對舞臺機械設計者面臨類似問題時有所啟發及借鑒。

2 基本形體的流體阻力分析與計算

水中舞臺機械的結構，均由基本的幾何形體組成；運動形式主要包括：升降、平移及旋轉等，這些運動形式均可歸納為直線運動及旋轉運動。因此，求解具有基本幾何形狀的物體在水中做直線運動及旋轉運動時的受力情況是解決問題的關鍵基礎。

2.1 水中薄板的平移

靜止流體中不存在剪應力，這是流體與固體的根本區別。但當各層流體之間有相對滑動時，在它們之間有切向的摩擦力，這就是流體的粘滯力。如圖1所示，2塊相隔一定距離的平行平板水平放置，其間充滿液體，下板固定不動，上板在F' 力的作用下以v 的速度沿x 方向運動。實驗表明，粘附于上平板的流體在平板運動方向上產生的粘性摩擦力F即F'的反作用力，和兩平板間的距離h成反比，和平板的面積A及速度v成正比，μ為流體的動力粘度，比例關系式如下[1]：

圖1 薄板平移粘滯阻力示意圖

式（1）即為牛頓內摩擦定律，僅適用于層流的情況。

2.2 水中薄圓盤的旋轉

前提與2.1類似，如圖2所示，水中薄圓盤半徑為R，繞y軸旋轉速度為ω，在距離y軸r 處寬度為dr 的圓環面積為2πr dr，其線速度v=rω，根據牛頓內摩擦定律有：

圖2 薄圓盤旋轉粘滯阻力示意圖

薄圓盤所受的摩擦阻力矩：

式（2）即為靜水中薄圓盤旋轉時的阻力矩公式，僅適用于層流的情況。

2.3 水中幾何體的平移

典型的幾何體包括：平板、圓盤、圓球、翼型、實心半球、空心半球、半圓管、圓柱等。

2.3.1 繞流阻力

流體在通道內的運動叫內流，流體繞物體的運動叫外流或繞流。河水繞過橋墩、風吹過建筑物、船舶在水中航行、飛機在大氣中飛行以及粉塵或泥沙在空氣或水中沉降等都是繞流運動。上述各繞流運動，既有流體繞過靜止物體的運動，也有物體在靜止流體中做等速運動，這兩種情況是等價的。

流體作用在繞流物體上的合力，可分解為繞流阻力和升力。繞流阻力方向與來流方向一致，包括摩擦阻力和壓差阻力兩部分。升力方向豎直向上，是物體在流體中運動時，由流體內不同部位的壓差而產生的向上作用力，速度較小時可近似看作浮力。牛頓提出繞流阻力的計算公式為[2]：

式中 ，ρ——流體的密度；
v——受繞流物體擾動前來流的速度，ρv 2/2為單位體積流體的動能；
A——繞流物體與來流速度垂直方向的迎流投影面積；
CD——繞流阻力系數。

對于小雷諾數圓球的繞流阻力， 因雷諾數很小，運動受粘性力控制，斯托克斯對N-S方程進行近似處理，求得圓球的繞流阻力公式為：

式中，d 為繞流物體的特征長度，對圓球來說d=2r。經實測在Re<<1范圍內與實驗相符。

繞流阻力系數CD主要取決于雷諾數，并和物體的形狀、表面的粗糙度，以及來流的紊動
強度有關，由實驗確定。圖3為圓球、圓盤及圓柱阻力系數的實驗曲線[3]。

圖3 圓球、圓盤、圓柱的繞流阻力系數曲線

從圖3中可以看出，圓球繞流阻力系數CD隨雷諾數Re的變化規律：當雷諾數Re<1時，

CD=f (Re)曲線接近直線，即CD與v 成反比，此時流體基本處于層流狀態，平順地繞過物體，尾部不出現渦旋，繞流阻力主要表現為摩擦阻力。當Re>1時，球表面出現層流邊界層分離，隨之摩擦阻力所占比例減小，壓差阻力增大，CD=f (Re)曲線下降的坡度逐漸變緩。當Re處在103～2.5×105時，摩擦阻力占總阻力的比例已很小，CD值介于0.4～0.5，幾乎不隨Re變化。當雷諾數增至Re=3×105附近時，CD值急劇下降至0.2左右。
垂直于來流的圓盤，其阻力系數CD在Re>103以后為一常數。圓柱體繞流阻力系數的變化規律與圓球繞流相似。

表1列出了幾種典型物體的繞流阻力系數，供比較和計算采用[3]。

2.3.2 繞流阻力的樁群效應

上面所說的繞流阻力是針對單個典型物體而言的，現實中的物體往往是由多個具有不同幾何形狀的物體組成的。那么，按一定規律排列的典型物體在受到繞流阻力時，相互之間是否會受影響呢？答案是肯定的，而且好多科技人員對此進行了大量的研究與實驗。鄧邵云[4]對“樁群”繞流阻力的橫向影響、縱向“遮攔”影響及“樁群” 有迎角的情況進行了系統研究， 其實驗模型與水中舞臺機械的實際情況有可比性，因此有些數據（見表2、表3）可直接應用在計算當中。

2.4 水中圓盤的旋轉

對于流體厚度較小時的層流液體，運動形式比較簡單，可以運用牛頓內摩擦定律通過積分方便地求出物體受到的摩擦阻力矩（見2.2）。對于高速旋轉的圓盤轉子，根據邊界層理論與量綱分析法[2]可得到摩擦阻力相似定律——雷諾定律：

式中，CD為摩擦阻力系數，ρ 為流體密度，v 為相對速度，S為圓盤轉子的濕面積。
光滑平板紊流摩擦阻力系數可用Prandtl-Schlichting公式[5]表達如下：

其中，雷諾數Re=ρ v d /μ ，特征長度d =2r ，特征速度v=rω ，r 為轉子上不同位置與旋轉軸的距離，μ 為液體的動力粘度，ω為轉子轉速。

由式（5）、式（6）可求出單位面積上受到的摩擦阻力：

由扭矩dM=r dF可得

由功率P= M可得

其中，Sn為圓盤轉子所有的濕面積之和。進行數值積分，即可求得不同轉速時扭矩及功率的值。

韓紅彪[6]通過實驗發現：式（8）、式（9）的計算結果基本與實際趨勢一致，但存在一定的偏差。通過對摩擦系數的修正，使計算與實際相吻合。試驗表明，當取ΔCD=1.9×10-3時，計算數值與實驗結果基本吻合，即（10）

實驗條件：圓盤直徑為760 mm，厚度為25 mm，圓盤芯軸直徑為110 mm，芯軸軸伸
為270 mm，圓盤上表面距水面400 mm，流體為25℃海水，ρ=1.03×103kg/m³，μ=0.89×10-3Pa·s。在上述實驗條件下，當轉速ω 從50 rad/min到600 rad/min逐漸增大時，修正前扭矩的計算結果范圍是1.4 N·m～113.6 N·m，功率的計算結果范圍是0.0 kW～8.4 kW；實驗得到的扭矩范圍是1 4 . 2 N · m ～ 2 1 8 . 6 N · m ， 功率范圍是0.1 kW～14.2 kW，修正后的計算結果與實驗結果非常接近。

3 分析計算實例

圖4、圖5、圖6所示，為國內某劇場大型水中組合式LED屏升降臺中的一個，該升降臺的LED屏面積為49㎡2，布滿升降臺頂層鋼架上平面，形狀如圖4所示異形，頂層LED屏水平放置。位于水面下50 mm處的LED屏可升高2 m，也可在水平面內沿45°方向平移1.7 m（如圖5示）。平移采用2只油缸驅動，升降臺整體通過底座上的5組滾輪在導軌上移動。升降采用5只二級油缸驅動，導向裝置為3只伸縮柱。下面計算升降臺在以0.3 m/s的速度平移時受到的繞流阻力（如圖6所示上鋼架露出水面，空氣阻力忽略不計），假設平移油缸處于頂出狀態中。CD值從表1中選取，“樁群”的阻力影響系數從表2、表3選取,不符合表中數值的按插入法確定。不同樁徑的同一根樁柱，繞流阻力分段計算后累加；相互影響的兩個樁柱，樁徑按均值計算；伸縮柱底端帶加強筋的部分按矩形處理，H型鋼按半圓管處理，升降臺底座按3根橫向的H型鋼梁處理，車輪、車輪支座、緊固件等均不予考慮。

圖4 LED屏頂層鋼架

圖5 LED屏底層鋼架

圖6 LED屏升降平移臺側視圖

（1）單根導向柱受到的繞流阻力

（2）單根二級油缸受到的繞流阻力

（3）單根150×150H型鋼受到的繞流阻力

（4）3根伸縮柱及5根二級油缸因“樁群”效應而受到的總繞流阻力

（5）3根150×150H型鋼因“樁群”效應而受到的總繞流阻力

（6）因此，升降臺在平移時受到的流體阻力為

4 結論與展望

本文在前人研究的基礎上，就工程實際中架體在水中運動時受到的流體阻力進行探索性研究與應用，對結構復雜的幾何體進行了簡化處理。由于流體力學本身的復雜性，要做到準確計算很困難，只能進行近似計算。

對于需要精確確定繞流阻力的情況，只能通過實驗測得。期待業內同仁對桿體（圓形和矩形）交叉時繞流阻力的相互影響情況進行研究，對復雜形體繞流阻力的計算有所突破，這樣更能方便工程實際計算。

致謝：本文在成稿過程中承蒙魏發孔教授的鼓勵和指導，在此表示衷心的感謝！